Una es cambiando los permisos de los foros dentro del panel de administración y poniendolos en Registrado (o como los quieras).
Otra un poco más brusca, yo lo hice sin querer, es borrando al miembro Anonimous (que se añade al principio cuando instalas el foro phpbb). Si lo eliminas los mensajes de los usuarios anónimos no aparecerán aunque se contarán. Por ejemplo si un post lo creas tú y responden 4 anónimos, verás que el post tiene 4 respuestas pero no verás ninguna. Serán como invisibles. Si luego lo quieres añadir de nuevo tienes que entrar en la base de datos del foro y crear un usuarios nuevo con ID 0.